%\documentstyle{report}
%\documentclass{report }

%\usepackage[cp866]{inputenc}
%\usepackage[cp1251]{inputenc}

%\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[LCY]{fontenc}
%\usepackage{graphicx,mybib,russian}
%\newcommand{\<<}{\lfq}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}

\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[LCY]{fontenc}
%\usepackage{graphicx,mybib,russian}
%\newcommand{\<<}{\lfq}
\twocolumn
\oddsidemargin =-2cm
\topmargin -3cm
\textheight=27cm
\textwidth=17cm
\pagestyle{empty}
\begin{document}

{\footnotesize

Лекция 10.{\bf Численное интегрирование}
Рассмотрим в пространстве $H_{[a,b]}$ интеграл

$A[f]=\int_a^bf(x)dx:f\in H_{[a,b]}\to R_1$ т.е операцию интегрирования
можно рассматривать как функционал действующий в пространстве $H_{[a,b]}$.
Функционал $A[f]$ аппроксимируем последовательностью конечномерных функционалов
$A_n:R_n\to R_1$ имеющих областью определения пространство $R_n$ и областью
значений пространство $R_1$, $A_n[f^n], f^n=T_n[f]$. Здесь $T_n$- оператор
проектирования пространства $H_{[a,b]}$ на пространство $R_n$ с областью определения
$\omega_n=\{x_i^{(n)}: a\le x_0^{(0)}\le x_1^{(n)}\le \cdots\le x_n^{(n)}\le b\}$.

{\bf Опр. } Будем говорить, что на элементе $f\in H_{[a,b]}$ выполнено условие
аппроксимации
или иными словами последовательность конечномерных
функционалов $A_n[f^n]$ аппроксимирует функционал $A[f]$, если

$\|A_n[T_n[f^n]]-A[f]\|_{R_n} \to_{n\to \infty}0$

Пример: $H_{[a,b]} =C^m_{[a,b]},T_nf=\{f(x_i^{(n)}\}_{i=0}^n=\{f_i\}_{i=0}^n$-
сеточная функция

Общий вид аппроксимирующего функционала, который называют квадратурной
формулой

$A_nf^f=\sum_{i=0}^nC_i^{(n)}f(x_i^{(n)}$, $C_i^{(n)}$- весовые коэффициенты,
удовлетворяющие условию

$\sum_{i=0}^nC_i^{(n)}=b-a$

$x_i^{(n)}$- узлы квадратурной формулы.

Функционал

$\delta_n[f]=\int^b_af(x)dx-\sum_{i=0}^nC_i^{(n)}f(x_i^{(n)})$- называют
функционалом погрешности квадратурной формулы.

$2(n+1)$- параметров $(x_i^{(n)},C_i^{(n)})$- квадратурной формулы
выбирают так, чтобы функционал погрешности обращался в ноль на некотором
классе функций или был минимальным.

{\bf Опр.} Будем говорить, что последовательность функционалов
 $\{A_nf\}, n\to\infty,f\in H_{[a,b]}$ слабо сходится к функционалу
$A[f],f\in H_{[a,b]}$, если

$ A_n[f]\to A[f]$ , $n\to\infty$ для любого элемента $f\in H_{[a,b]}$

{\bf Опр.} Будем говорить, что последовательность функционалов
 $\{A_nf\}, n\to\infty,f\in H_{[a,b]}$ сильно сходится к функционалу
$A[f],f\in H_{[a,b]}$, если


$\|A_n[f]-A[f]\|=\sup\limits_{f\ne 0}\frac{\|A_n[f]-A[f]\|}{\|f\|}\to 0, n\to\infty$


{\bf T.1} Ни для какой системы узлов и весовых коэффициентов квадратурной
формулы функционал погрешности не стремится сильно к нолю на $C_{[a,b]}$,
более того

$\|\delta_n[f]\|=b-a+\sum_{k=0}^n C_k^{(n)}|$

Иными словами из теоремы следует, что существует функция из класса $C_{[a,b]}$
такая, что для нее невозможно построить квадратурную формулу для целого
класса функций, т.е. численно правильно
вычислить интеграл.

Однако для практических приложений важен другой факт, состоящий в том что
функционал погрешности $\delta_n[f]\to 0$ слабо на классе  $C_{[a,b]}$. Более
того, в приложениях,  как правило, имеют дело с некоторым компактом (множество
где может быть выделены фундаментальная последовательность )  $ X \in C_{[a,b]} $
и тогда для $f\in X$ можно указать даже порядок стремления к нулю
функционала погрешности. Из слабой сходимости следует, вообще говоря факт, что
для каждой функции следует строить свою квадратурную формулу

{\bf Т.} Для того, чтобы последовательность функционалов $\delta_n[f]$
слабо стремился к нулю для любой функции из класса $C_{[a,b]}$
необходимо и достаточно, чтобы

$\sum_{k=0}^n|C_k^{(n)}|<K-const$ для всех $n$


{\bf Т.} Если все весовые коэффициенты квадратурной формулы положительны
то последовательность функционалов $\delta_n[f]$
слабо стремился к нулю для любой функции из класса $C_{[a,b]}$


Теоремы говорят, что для любой функции из $C_{[a,b]}$ можно построить
квадратурную формулу выбором узлов и весовых коэффициентов квадратурной формулы

{\bf Построение квадратурных формул интерполяционного типа}

Пусть функция $f\in C_{[a,b]}^{n+1}$ bи требуется построить квадратурную
формулу для вычисления интеграла

$\int_a^bf(x)p(x)dx$- $p(x)$- заданная весовая функция

Интервалу $[a,b]$ поставим в соответствие сетку $\omega_n=\{x_i^{(n)}:
a\le x_0^{(n)}\le \cdots \le x_n^{(n)}=b\}$  и с помощью оператора
проектирования $T_nf(x)=\{f(x_i^{(n)}\}_{i=0}^n$- функции $f(x)$ поставим
в соответствие сеточную функцию на сетке $\omega_n$. Далее сеточную
функцию заменим интерполяционным многочленом Лагранжа.

$f^L(x)=\sum_{k=0}^nf(x_k^{(n)})e_k(x), e_k(x)=\prod_{i=0,i\ne k}^n\frac{x-x_i^{(n)}}
{x_k^{(n)}-x_i^{(n)}}=\frac{\omega_n(x)}{x-x_k^{(n)}}\omega_n'(x)$,
$\omega_n(x)=\prod_{k=0}^n(x-x_k^{(n)})$

$\int^b_af(x)p(x)dx\to\int_a^bf^L(x)p(x)dx= $

$\int^b_a\sum_{k=0}^nf(x_k^{(n)})l_k^n(x)p(x)dx=$

$\sum_{k=0}^n [\int_a^bl_k^n(x)p(x)dx] f(x_k^{(n)})=\sum_{k=0}^nC_k^{(n)}f(x_k^{(n)})$,


$C_k^{(n)}=\int_a^bl_k^n(x)p(x)dx$

Построенные таким образом квадратурные формулы называют квадратурными
формулами Ньютона-Котеса. Заметим, что формулы Ньютона-Котеса точны
для функций $P_{N-1}(x)p(x), P_{N-1}$- многочлен степени $N-1$, т.к. в этом случае
$f(x)p(x)= f^L(x)p(x)$

Примеры построения квадратурных формул на равномерных сетках:

Пусть $p(x)=1$ и $[a,b]\to\omega_n=\{x_i:x_i=a+\frac{b-a}{n}i, i=\overline{0,n}\}$

$\int_a^bf(x)dx\to(b-a)\sum_{k=0}^n C_k^{(n)}f(a+k\frac{b-a}{n}),
C_k^{(n)}=\frac{1}{b-a}\int_a^b\prod_{i=0,i\ne k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i}dx$

1. Квадратурная формула трапеций $n=1$

$\omega_n=\{a,b\}$,

$\int_a^bf(x)dx\to \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)], C_0^1=C_1^1=\frac 1 2 >0, C_0^1+C_1^1=1   >0;$
Геометрическая интерпретация.


2. Квадратурная формула Симпсона $n=2$

$\omega_n=\{a,\frac{a+b}{2} b\}$,

$\int_a^bf(x)dx\to (b-a)[\frac 1 6 f(a)+ \frac 4 6 f(frac{a+b}{2})+ \frac 1 6f(b)],
C_0^2=C_2^2=\frac 1 6>0 , C_1^2=\frac 4 6>0,
C_0^2+C^2_1+C^2_2=1 >0;$
Геометрическая интерпретация.


3. Квадратурная формула под названием "правила $\frac 3 8$" $n=3$

$\omega_n=\{a,\frac{2a+b}{3} \frac{a+2b}{3} b\}$,

$\int_a^bf(x)dx\to (b-a)[\frac 1 8 f(a)+ \frac 3 8 f(\frac{2a+b}{3})+
\frac{3}{8}f(\frac{a+2b}{3})+\frac 1 8f(b)],
C_0^3=C_3^3=\frac 1 8>0 , C_1^3=C_2^3\frac 3 8>0,
C_0^3+C^3_1+C^2_3+C_3^3=1 >0;$
Геометрическая интерпретация.

Заметим, что для коэффициентов выполнены условия выше изложенных теорем.
Оказывается, что начиная с $n=8$ среди коэффициентов квадратурных
формул Ньютона-Котеса появляются отрицательные. Имеют место теоремы

{\bf Т.} Для весовых коэффициентов квадратурных формул Ньютона-Котеса имеет
место утверждение

$\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n|C_k^{(n)}|=\infty$


{\bf Т. } Существуют непрерывные функции для которых процедура
численного интегрирования основанные на квадратурных формулах Ньютона-Котеса
неограниченно расходятся

 Иными словами процедура повышения степени интерполяционного многочлена Лагранжа
при построении квадратурных формул - процедура тупиковая.

На практике  квадратурные формулы Ньютона-Котеса используют только для $n<9$.

Замечание. Если при интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа
заменить на интерполяционный многочлен Лежандра, а за узлы квадратурной формулы
вибирать корни многочленов Лежандра, то процедура повышения
степени интерполяционного многочлена не является тупиковой и построенные
таким образом квадратурные формулы носят название квадратурных формул Гаусса.

Погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса

При $f(x)\in C_{[a,b]}^{N+1},\qquad p(x)=1$

$f(x)=f^L(x)+\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{k=0}^n(x-x_k), \xi \in [a,b];$

Следовательно, функционал погрешности вычисляется для $p(x)=1$ по формуле

$\delta_n[f]=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\int^b_a\prod_{k=0}^n(x-x_k)dx$

1. Квадратурная формула трапеций $n=1$

$\delta_n[f]=\frac{f''(\xi)}{2!}\int_a^b(x-a)(x-b)dx\le
\max_{a\le x\le b}|f''(x)|\frac{(b-a)^3}{12}$

2. Квадратурная формула Симпсона $n=2$

$\delta_n[f]=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\int_a^b(x-a)(x-\frac{(b-a)}{2})^2(x-b)dx\le$
$\max_{a\le x\le b} |f^{(4)}(x)|\frac{(b-a)^5}{2880}$

При вычислении использовано правило: если квадратурные формулы Ньютона-Котеса
имеют симметричные узлы относительно середины отрезка $[a,b]$  и весовые коэффициенты
симметричны, то такие квадратурные формулы точны для любой нечетной
относительно середины отрезка $[a,b]$ функции и следовательно точны
для многочленов степени $n$.

 В уточненной оценки погрешности
  среднюю точку сетки $\omega_n$ $\frac{a+b}{2}$ считают с кратностью два и замены
$n$ на $n+1$ в формуле функционала погрешности.




}
\end{document}
